В данной работе исследуется один из возможных вариантов гладкой аппроксимации вероятностных критериев в задачах стохастического программирования. Исследование проведено в приложении к задачам оптимизации функции вероятности и функции квантили для функционала потерь, зависящего от вектора управления и одномерной абсолютно непрерывной случайной величины. В данной работе исследуется один из возможных вариантов гладкой аппроксимации вероятностных критериев в задачах стохастического программирования. Исследование проведено в приложении к задачам оптимизации функции вероятности и функции квантили для функционала потерь, зависящего от вектора управления и одномерной абсолютно непрерывной случайной величины. Основная идея аппроксимации – замена разрывной функции Хевисайда в интегральном представлении функции вероятности на гладкую функцию, обладающую такими свойствами как непрерывность, гладкость, а также имеющую легко вычислимые производные. Примером такой функции является функция распределения случайной величины, распределенной по логистическому закону с нулевым средним и конечной дисперсией – сигмоида. Величина, обратно пропорциональная корню из дисперсии, при этом является параметром, обеспечивающим близость исходной функции и ее аппроксимации. Такая замена позволяет получить гладкое приближение функции вероятности, для которого легко могут быть найдены производные по вектору управления и иным параметрам задачи. В статье доказана сходимость аппроксимации функции вероятности, полученной при замене функции Хевисайда на сигмоидальную функцию, к исходной функции вероятности, и получена оценка погрешности такой аппроксимации. Далее получены приближенные выражения для производных функции вероятности по вектору управления и параметру функции, доказана их сходимость к истинным производным при выполнении ряда условий на функционал потерь. С помощью известных соотношений между производными функции вероятности и функции квантили получены приближенные выражения для производных функции квантили по вектору управления и уровню вероятности. Рассмотрены примеры, демонстрирующие возможность применения предложенных оценок к решению задач стохастического программирования с критериями в форме функции вероятности и функции квантили, в том числе в случае многомерной случайной величины.
В работе рассматривается один из аспектов задачи о преследовании: построение траекторий движения преследователя для случая, когда преследование осуществляется по методу погони, то есть касательная, проведенная к траектории движения преследователя в любой момент времени, проходит через положение точки, которая ассоциируется с преследуемым. Предлагается новый подход построения кривых погони путем использования разностных схем. Данная методика позволяет отказаться от необходимости составлять дифференциальные уравнения для описания кривых погони, что бывает достаточно сложно сделать в общем случае. Кроме того, применение разностных схем обосновано в ситуации, когда нахождение аналитического решения уже имеющегося дифференциального уравнения затруднительно, и дает возможность получить кривую погони численным способом. Построены различные модификации разностных схем, являющиеся аналогами схем на основе методов Эйлера, Адамса — Башфорта и Милна. Осуществлена их программная реализация с помощью математического пакета Mathcad. Рассмотрен случай равномерного прямолинейного движения преследуемого, для которого известно дифференциальное уравнение, описывающее траекторию преследователя, и его аналитическое решение. Проведен сравнительный анализ полученных разными методами численных решений и известного аналитического решения. Найдена погрешность полученных численных реализаций. Рассмотрено применение построенных разностных схем для более общего случая произвольной траектории преследуемого. Также описан алгоритм распространения предложенного метода для случая циклического преследования с несколькими участниками в трехмерном пространстве. В частности, построена разностная схема, аналогичная методу Эйлера, для трехмерного аналога «задачи о жуках». Полученные результаты продемонстрированы на анимационных примерах как для двумерного, так и трехмерного случаев.
Рассматриваются вопросы, связанные с тестированием эффективности практической реализации методов решения начальной задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Анализируется алгоритм, заложенный в программную реализацию метода Дорманда — Принса (процедуры ode45 — наиболее популярной из входящих в стандартный набор методов MATLAB). Представлены разработанные авторами так называемые структурные методы решения систем уравнений специального вида, которые на одном шаге требуют меньше вычислений, чем метод Дорманда — Принса, используемый в ode45. Структурные методы реализованы на базе того же алгоритмического и программного ядра, что лежит в основе ode45 с целью обеспечения максимально объективного сравнения эффективности работы каждого из рассматриваемых методов. На ряде примеров демонстрируется превосходство полученных процедур над ode45 по соотношению глобальной погрешности и вычислительных затрат.
1 - 3 из 3 результатов